Termodynamiczno beta

Skala przetworzyniŏ tymperatury/chłodności SI: Tymperatury we skali Kelvina sōm ukŏzane na modro (skala Celsjusza – na zielōno, skala Fahrenheita – na czyrwono), werty chłodności we gigabajtach na nanodżul sōm ukŏzane na czorno. Niyskōńczōno tymperatura (nulowo chłodność) je pokŏzano na wiyrchu diagramu; dodatnie werty chłodności/tymperatury – po prawyj, negatywne – po lewyj.

We statystycznyj termodynamice termodynamiczno beta, znōmo tyż jako chłodność, je welkościōm ôdwrotnōm do termodynamicznyj tymperatury systymu:$$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$$ (kaj T to je tymperatura, a k_B to je stało Boltzmanna).

Termodynamiczno beta mŏ wymiŏr ôdwrotny do energije (we jednotkach SI, ôdwrotny dżul, $[\beta ]={\textrm {J}}^{-1}$). We niytermicznych jednotkach idzie jōm tyż miyrzić we bajtach na dżul abo, co je wygodniyjsze, we gigabajtach na nanodżul; 1 K⁻¹ je růwno kole 13 062 gigabajtōw na nanodżul; przi izbowyj tymperaturze: T = 300 K, β ≈ 44 GB/nJ ≈ 39 eV⁻¹ ≈ 2,4 ⋅ 10²⁰ J⁻¹. Wspōłczynnik přetwořyniŏ: 1 GB/nJ = $8\ln 2\times 10^{18}$ J⁻¹.

Ôpis

Termodynamiczno beta je we istocie łōncznikym miyndzy teoryjōm informacyje a mechanikōm statystycznōm we interpretacyji fizycznego systymu bez jego entropyjõ i termodynamikōm, zwiōnzanōm ze jego energijōm. Wyrożo reakcyjõ entropyje na wzrōst energije. Eli do systymu doda sie małowielã energije, to β ôpisuje stopiyń randomizacyje systymu.

Bez statystyczno definicyjõ tymperatury jako funkcyje entropyje, funkcyjõ chłodności idzie ôbliczyć we mikrokanōnicznym ansamblu ze mustra:

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}},={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}$

(t.j. czynściowo pochodno entropyje S po energiji E při stałyj ôbjyntości V i liczbie čōnstek N).

Zalety

Chociŏż β je pod wzglyndym kōncepcyje blank ekwiwalyntno do tymperatury, je ôna ôgōlnie uważano za barzij fundamentalno welkość niż tymperatura, skuli zjawiska negatywnyj tymperatury, při kerym β je ciōngło při přejściu bez nula, kej T mŏ osobliwość.

Ze druge strony, β mŏ ta zaleta, iże jeji přičynowo-skutkowo zależność je lekszo do zroumiyniŏ: eli do systymu doda sie małowielã ciepła, β reprezyntuje wzrōst entropyje tajlowany bez wzrōst ciepła. Tymperaturã je ciynżko interpretować na tyn sōm spusōb, bo niy idzie "dodać entropyje" do systymu inakszyj jak niybezpośrednio, bez zmianã inkszych welkości, takich jak tymperatura, ôbjyntość abo liczba čōnstek.

Statystyczno interpretacyjo

Ze statystycznego pōnktu widzyniŏ, β to je numeryczno welkość, kero łōnczy dwa makroskopowe systymy we rōwnowodze. Dokładno formulacyjo je nastympujōnco. Weźmy pod uwogã dwa systymy, 1 i 2, kere sōm we termicznym kōntakcie, ze ôdpednimi energijami E₁ i E₂. Přijmijmy, iże E₁ + E₂ = jakås stało E. Liczbã mikrostanōw kożdego systymu ôznaczmy Ω₁ i Ω₂. Podle našych zalożyń Ω_i zależy ino ôd E_i. Přijmujymy tyż, iże kożdy mikrostōn systymu 1 zgodny ze E₁ može wspōłistniyć ze kożdym mikrostanym systymu 2 zgodnym ze E₂. Skuli tego, liczba mikrostanōw dlŏ połōnczōnego systymu je růwno:

$\Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).,$

Wyprowadzimy β ze fundamentalnego postulatu mechaniki statystycznyj:

Kej połōnczōny systym ôsiōngo rōwnowogã, liczba Ω je maksymalizowano.

(Inkszymi słowy, systym naturalnie dōnży do maksymalnyj liczby mikrostanōw.) Tedy, we rōwnowodze:

${\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.$

Ale E₁ + E₂ = E ôznoczo

${\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.$

Takže

$\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0$

t.j.

${\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{we rōwnowodze.}}$

Powyższo relacyjo motywuje definicyjõ β:

$\beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.$

Powiōnzanie interpretacyje statystycznyj i termodynamicznyj

Kej dwa systymy sōm we rōwnowodze, majōm takõ samã termodynamicznõ tymperaturã T. Tedy intuicyjnie idzie sie spodziewać, iże β (zdefiniowano bez mikrostany) je jaksi powiōnzano ze T. To powiōnzanie dowo fundamentalny postulat Boltzmanna, zapisowany jako

$S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,$

kaj k_B to je stało Boltzmanna, S to je klasyczno termodynamiczno entropyjo, a Ω to je liczba mikrostanōw. Tedy,

$d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.$

Podstawiōnc do definicyje β ze statystycznyj definicyje powyżyj, dostowōmy

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.$

Porōwnujōnc ze termodynamicznym mustrym

${\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},$

mōmy

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}$

kaj $\tau$ mianuje sie fundamentalnōm tymperaturōm systymu i mŏ wymiŏr energije.

Historyjo

Termodynamiczno beta ôstała piyrwotnie wprowadzōno we 1971 roku (jako Kältefunktion „funkcyjo chłodu”) bez Ingo Müllera, jednego ze zwolynnikōw szkoły myślyniŏ racyjōnalnyj termodynamiki, na podstawie wczaśniyjszych propozycyji ô funkcyji „ôdwrotnyj tymperatury”.

Uobejrzyj tyż

• Rozkłŏd Boltzmanna
• Kanōniczny ansambel
• Model Isinga