Cołkowańy bez podstawjyńy

Cołkowańy bez podstawjyńy - jedyn ze kńifůw rachowańo zawartych form cołkůw.

Uopis kńifu

Eli:

• Fůnkcyjo $\psi(x)$ je růżniczkowalno we $D$
• $I=\psi(D)$ je przedźołym
• Fůnkcyjo $g(x)$ mo pjerwotno fůnkcyjo we przedźole $I$, tj. $G'(t) = g(t)$ lo $t$ kere przinoleżům do $I$
• $f(x) = g(\psi(x)) \cdot \psi'(x), x \in D$

to fůnkcyjo $f$ je cołkowalno we $D$ a tyż:

$\int f(x) dx = \int g(\psi(x)) \cdot \psi'(x) dx = G(\psi(x)) + C$

Tyż, eli je mogebne cołka przełonaczyć do postaći:

$\int f(g(x)) g^{\prime}(x) dx$,

to je mogebne půmjyńić podstawa cołkowańo na $g(x)$:

$\int f(g(x)) dg(x)$.

We przipadku rachowańo uoznoczůnych całkůw bez podstawjyńe půmjyńyńu podlygajům grańice cołkowańo. We uůnym przipadku twjerdzyńe uo cołkowańu bez podstawjyńe wypado tak:

Założyńa:

• Funkcyjo f je cołkowalno we uůnyj dźedźińe.
• Funkcyjo g uokreślůno na przedźole [a; b] je růżniczkowalno we kńif sztyjcowy.
• g'(x)≠0 lo kożdygo x s przedźołu (a; b)
• Uobroz funkcyji g zawjyro śe we dźedźińe funkcyji f.

Wuůnczas:

$\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx = \int\limits_{a}^{b}f(g(t)) \cdot g'(t)dt$

Bajszpile

• Rachujůnc cołka $\int \tfrac{\ln x}{x} dx$, je mogebne zastosować podstawjyńe $\ln x = t$, tj.$\tfrac{dx}{x} = dt$, wjync:

$\int \frac{\ln x}{x} dx = \int t dt = {1 \over 2} t^2 + C = {1 \over 2} \ln^2 x + C$.

• Bajszpil zastosowańo kńifu cołkowańo bez podstawjyńe bez půmocńiczej zmjynnyj:

$\int \sin (2x+3) dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x+3) 2 dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x+3) d(2x+3) = - \frac{1}{2} \cos (2x+3) + C.$

Uobocz tyż

• cołkowańy bez tajle