Bycirk normalny

Bycirk (we ${\mathbb {R} }^{2}$) normalny wele uośi OX – podzorta D płaskego placu ze wyrůżńůnym kartezjońskim ukłodem koordynatůw kery je uograniczoůy dwůma wykresůma funkcyji ćůngłych a prostymi růwnolygłymi do uośi OY.

Zorta $D\subseteq {\mathbb {R} }^{2}$ je bycirkem normalnym wele uośi OX eli

$D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}:\;a\leqslant x\leqslant b;\;f(x)\leqslant y\leqslant g(x)\},$

kaj $f,g:[a,b]\longrightarrow {\mathbb {R} }$ sům ćůngłymi funkcyjůma, $a<b$.

Proste $x=a$ a $x=b$ uograńiczajům bycirk po prawyj a lewyj zajće, a krziwe $y=g(x)$ a $y=f(x)$ uodpedńo uod wjyrchu a dołu.

Plac bycirku normalnygo

Plac $|D|$ bycirku normalnygo $D\subseteq {\mathbb {R} }^{2}$ rachuje śe podug mustra:

$|D|=\int \limits _{a}^{b}(g(x)-f(x))\mathrm {d} x$

Beztuż co:

$f(x)$ je ćůngło we przedźole $[a,b]$, skiż tygo zaspokojo założyńo twierdzyńo Weierstraßa, beztuż$\forall x\in [a,b]$ załaźi $f(x)>m$ lo uůnygoś $m\in \mathbb {R}$.

Eli $m<0$ to trza szibnůńć bycirk $D$ uo wektor $[0,-m]$.

Uotrzymony bycirk $D^{\prime }=D$ skiż tygo, co szibńyńće uo wektor (translacyjo) je izomeryjům.

Uoznoczmy $f_{1}(x)=f(x)+m$ a $g_{1}(x)=g(x)+m$.

Plac tygo bycirku normalnygo je růwne růżńicy dwůch trapyzůw krzywolińowych:

$|D|=\int \limits _{a}^{b}f_{1}(x)\mathrm {d} x-\int \limits _{a}^{b}g_{1}(x)\mathrm {d} x=\int \limits _{a}^{b}(f_{1}(x)-g_{1}(x))\mathrm {d} x=\int \limits _{a}^{b}(f(x)-g(x))\mathrm {d} x$

Skuli tygo, aże $f_{1}(x)$ a $g_{1}(x)$ růżńům śe uod $f_{1}(x)$ a $g_{1}(x)$ ino uo stało. QED.

Bycirk normalny we placu trůjwymjarowym

Zorta $V\subseteq {\mathbb {R} }^{3}$ je bycirkem normalnym wele płaszczyzny xy eli je bycirk normalny $V'\subseteq {\mathbb {R} }^{2}$ a ćůngłe a uograńiczone funkcyje $f,g:V'\longrightarrow {\mathbb {R} },f\leqslant g$, take, aże:

$V=\{(x,y,z)\in {\mathbb {R} }^{3}:\;(x,y)\in V'\;z\in [f(x,y),g(x,y)]\}.$

Analogiczńe defińuje śe bycirk normalny wele inkszych płaszczyzn.